Pare-vapeur ou non dans une cloison entre salle de bain et chambre, et si oui de quel côté ?

Bonjour,

J'ai besoin de vos lumières svp. Actuellement la cloison entre ma chambre et la salle de bain est faite de simples planches de bois (plancher massif) fixées à des tasseaux au plafonds et au sol. Je souhaiterais l'isoler (je pense en laine de bois ou laine de chanvre) et la doubler du côté de la salle de bain soit avec du bois, soit avec du placo hydrofuge si ce n'est pas possible avec le bois. Pour l'instant la salle de bain est généralement froide car, étant donné que la fenêtre est de mauvaise qualité, elle n'est chauffée que juste avant et pendant la douche. Je suppose qu'un jour je changerai la fenêtre et dans ce cas je pourrai chauffer un peu plus la salle de bain mais dans tous les cas la chambre sera toujours la pièce la plus chaude, la plupart du temps.
Je me demande si je dois mettre un pare-vapeur ou frein vapeur et dans ce cas de quel côté ? En effet j'ai lu qu'il devait être posé du côté de la pièce chauffée ou humide mais dans ce cas la pièce humide est la plus froide...
Est-ce possible de mettre du bois côté salle de bain (lambris ou lames de plancher) avec un traitement bien sûr ? Je cherche au plus économique car j'ai un tout petit budget.
Je vous remercie d'avance pour vos conseils.