Remplacer une portion de tuyau cuivre

Bonjour à tous,

Débutant en plomberie

sur un tuyau de cuivre 16 cm, j'ai un raccord soudé qui fuit et que j'ai donc entrepris de remplacer, pour cela j'ai donc "couper" le tuyau juste avant le raccord qui fuit  et j'ai coupé un peu à droite de ce raccord (on va dire 20 cm)
Je veux remplacer cette petite section de 15-20 cm par un nouveau tuyau cuivre tout neuf et mettre deux raccords à gauche et à droite.
le raccord que je veux mettre à gauche et à droite est de ce type 



(le diametre de la photo n'est pas le bon mais c'est pas grave c'est pour illustrer)

On a donc 2 raccords type "olive" 

Le problème que je rencontre, et là je me demande si c'est moi qui suit con, mais comment je peux faire pour couper précisément le tuyau de cuivre que je veux rajouter pour ensuite le "rentrer" entre l'ancien tuyau ? 
J'ai fait plusieurs tentatives, mais les raccords olives fuient toujours car quand je coupe une section de tuyau cuivre, autant  sur un côté   le raccord olive ne fuit pas car j'arrive à mettre le tuyau en "butée" du raccord, autant l'autre côté j'ai toujours 1 ou 2 cm qui manque (ou en plus, donc ça rentre pas)

Je suis bête ou alors c'est vraiment galère à faire et j'ai plus qu'à prendre un flexible ?  

Pour exprimer mieux la situation, j'ai donc un tuyau "ancien" que je vais symboliser par ------
et un tuyau "nouveau" noté OOOOO que je veux mettre entre ce tuyau ancien , ça donnerait donc ça 

--------------(raccords olives)OOOOOOOOOOO(raccord olives)-------------------------------

merci à tous