Porte à galandage, comment améliorer l'isolation phonique ?

Bonjour,

Ma maison se compose d'une grande pièce à vivre de 40 m². La partie nuit de la maison se trouve sur un demi étage au dessus. Il y a en effet quelques marches d'escalier pour avoir accès aux chambres.
Il n'y a aucune séparation entre la partie jour (grande pièce ouverte cuisine, salle à manger, salon) et la partie nuit (3 chambres + sdb + WC).

On souhaite séparer les 2 parties de la maison en mettant, en haut des escaliers, une cloison avec portes coulissante, principalement pour une meilleur isolation phonique des chambres mais aussi pour avoir un peu d'intimité car qandd on sort des wc ou de la sdb on est directement dans le champ de vision de la pièce à vivre.

On vient de commander chez Lapeyre, une porte coulissante avec un systeme de galandage de marque SCRIGNO modèle prestige uno à 359 € (caisson plein).

On a choisi le systeme à galandage pour l'aspect esthétique mais je sais que c'est pas l'idéal pour l'isolation.
On va mettre une plaque de BA13 phonique de chaque côté du caisson mais on a pas la place pour mettre une double plaque de chaque coté et ainsi mettre de la laine  verre.

Que me conseillez-vous pour bien isoler phoniquement le caisson ? Est-ce que le BA13 phonique est efficace par rapport au BA13 classique ? Sinon, comment améliorer l'isolation phonique ?